最大子数组和

发表于 2024-02-20 更新于 2024-03-07 阅读次数：本文字数： 1.6k 阅读时长 ≈ 6 分钟

最大子数组和

1.题目内容

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例 1：

1
2
3

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

1 2	输入：nums = [1] 输出：1

示例 3：

1 2	输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

2.解法

（1）动态规划

思路及算法

假设 nums 数组的长度是 n，下标从 0 到 n−1。

我们用 f(i) 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：

max~~0≤i≤n−1~~{f(i)}

因此我们只需要求出每个位置的 f(i))，然后返回 f 数组中的最大值即可。那么我们如何求 f(i) 呢？我们可以考虑 nums[i]单独成为一段还是加入 f(i−1) 对应的那一段，这取决于 nums[i] 和 f(i−1)+nums[i] 的大小，我们希望获得一个比较大的，于是可以写出这样的动态规划转移方程：

f(i)=max⁡{f(i−1)+nums[i],nums[i]}

不难给出一个时间复杂度 O(n)、空间复杂度 O(n) 的实现，即用一个 f 数组来保存 f(i) 的值，用一个循环求出所有 f(i)。考虑到 f(i) 只和 f(i−1)相关，于是我们可以只用一个变量 pre 来维护对于当前 f(i) 的 f(i−1) 的值是多少，从而让空间复杂度降低到 O(1)，这有点类似「滚动数组」的思想。

代码

//C++
class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (const auto &x: nums) {
            pre = max(pre + x, x);
            maxAns = max(maxAns, pre);
        }
        return maxAns;
    }
};

//Java
class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (int x : nums) {
            pre = Math.max(pre + x, x);
            maxAns = Math.max(maxAns, pre);
        }
        return maxAns;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。

（2）分治

思路及算法

这个分治方法类似于「线段树求解最长公共上升子序列问题」的 pushUp 操作。也许读者还没有接触过线段树，没有关系，方法二的内容假设你没有任何线段树的基础。当然，如果读者有兴趣的话，推荐阅读线段树区间合并法解决多次询问的「区间最长连续上升序列问题」和「区间最大子段和问题」，还是非常有趣的。

我们定义一个操作 get(a, l, r) 表示查询 a 序列 [l,r] 区间内的最大子段和，那么最终我们要求的答案就是 get(nums, 0, nums.size() - 1)。如何分治实现这个操作呢？对于一个区间 [l,r]，我们取 m=⌊$\frac{l+r}{2}$⌋，对区间 [l,m] 和 [m+1,r] 分治求解。当递归逐层深入直到区间长度缩小为 1 的时候，递归「开始回升」。这个时候我们考虑如何通过 [l,m] 区间的信息和 [m+1,r] 区间的信息合并成区间 [l,r] 的信息。最关键的两个问题是：

我们要维护区间的哪些信息呢？
我们如何合并这些信息呢？

对于一个区间 [l,r]，我们可以维护四个量：

lSum 表示 [l,r] 内以 l 为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l,r] 内以 r 为右端点的最大子段和
mSum表示 [l,r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l,r] 的区间和

以下简称 [l,m] 为 [l,r] 的「左子区间」，[m+1,r] 为 [l,r] 的「右子区间」。我们考虑如何维护这些量呢（如何通过左右子区间的信息合并得到 [l,r] 的信息）？对于长度为 1 的区间 [i,i]，四个量的值都和 nums[i] 相等。对于长度大于 1 的区间：

首先最好维护的是 iSum，区间 [l,r] 的 iSum 就等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 iSum。
对于 [l,r] 的 lSum，存在两种可能，它要么等于「左子区间」的 lSum，要么等于「左子区间」的 iSum 加上「右子区间」的 lSum，二者取大。
对于 [l,r] 的 rSum，同理，它要么等于「右子区间」的 rSum，要么等于「右子区间」的 iSum 加上「左子区间」的 rSum，二者取大。
当计算好上面的三个量之后，就很好计算 [l,r] 的 mSum 了。我们可以考虑 [l,r] 的 mSum 对应的区间是否跨越 m——它可能不跨越 m，也就是说 [l,r] 的 mSum 可能是「左子区间」的 mSum 和「右子区间」的 mSum 中的一个；它也可能跨越 m，可能是「左子区间」的 rSum 和「右子区间」的 lSum 求和。三者取大。

这样问题就得到了解决。

代码

//C++
class Solution {
public:
    struct Status {
        int lSum, rSum, mSum, iSum;
    };

    Status pushUp(Status l, Status r) {
        int iSum = l.iSum + r.iSum;
        int lSum = max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
        int rSum = max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
        int mSum = max(max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
        return (Status) {lSum, rSum, mSum, iSum};
    };

    Status get(vector<int> &a, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return (Status) {a[l], a[l], a[l], a[l]};
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        Status lSub = get(a, l, m);
        Status rSub = get(a, m + 1, r);
        return pushUp(lSub, rSub);
    }

    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        return get(nums, 0, nums.size() - 1).mSum;
    }
};

//Java
class Solution {
    public class Status {
        public int lSum, rSum, mSum, iSum;

        public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum) {
            this.lSum = lSum;
            this.rSum = rSum;
            this.mSum = mSum;
            this.iSum = iSum;
        }
    }

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        return getInfo(nums, 0, nums.length - 1).mSum;
    }

    public Status getInfo(int[] a, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return new Status(a[l], a[l], a[l], a[l]);
        }
        int m = (l + r) >> 1;
        Status lSub = getInfo(a, l, m);
        Status rSub = getInfo(a, m + 1, r);
        return pushUp(lSub, rSub);
    }

    public Status pushUp(Status l, Status r) {
        int iSum = l.iSum + r.iSum;
        int lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
        int rSum = Math.max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
        int mSum = Math.max(Math.max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
        return new Status(lSum, rSum, mSum, iSum);
    }
}

复杂度分析

假设序列 a 的长度为 n。

时间复杂度：假设我们把递归的过程看作是一颗二叉树的先序遍历，那么这颗二叉树的深度的渐进上界为 O(log⁡n)，这里的总时间相当于遍历这颗二叉树的所有节点，故总时间的渐进上界是 O(∑i=1log⁡n2^i−1^)=O(n),故渐进时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：递归会使用 O(log⁡n) 的栈空间，故渐进空间复杂度为 O(log⁡n)。