有效的数独

1.题目内容

请你判断一个 9 x 9 的数独是否有效。只需要 根据以下规则 ，验证已经填入的数字是否有效即可。

1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

注意：

• 一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的。
• 只需要根据以上规则，验证已经填入的数字是否有效即可。
• 空白格用 '.' 表示。

示例 1：

输入：board = 
[["5","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：true

示例 2：

输入：board = 
[["8","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：false
解释：除了第一行的第一个数字从 5 改为 8 以外，空格内其他数字均与 示例1 相同。 但由于位于左上角的 3x3 宫内有两个 8 存在, 因此这个数独是无效的。

提示：

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j] 是一位数字（1-9）或者 '.'

2.解法

一次遍历

思路及算法

有效的数独满足以下三个条件：

• 同一个数字在每一行只能出现一次；

• 同一个数字在每一列只能出现一次；

• 同一个数字在每一个小九宫格只能出现一次。

可以使用哈希表记录每一行、每一列和每一个小九宫格中，每个数字出现的次数。只需要遍历数独一次，在遍历的过程中更新哈希表中的计数，并判断是否满足有效的数独的条件即可。

对于数独的第 i 行第 j 列的单元格，其中 0≤i,j<9该单元格所在的行下标和列下标分别为 i 和 j，该单元格所在的小九宫格的行数和列数分别为 ⌊i/3⌋ 和 ⌊j/3⌋，其中 0≤⌊i/3⌋,⌊j/3⌋<3。

由于数独中的数字范围是 1 到 9，因此可以使用数组代替哈希表进行计数。

具体做法是，创建二维数组 rows 和 columns 分别记录数独的每一行和每一列中的每个数字的出现次数，创建三维数组 subboxes 记录数独的每一个小九宫格中的每个数字的出现次数，其中 rows[i] [index]、columns[j] [index] 和 subboxes[⌊i/3⌋] [⌊j/3⌋] [index] 分别表示数独的第 i 行第 j 列的单元格所在的行、列和小九宫格中，数字 index+1 出现的次数，其中 0≤index<9，对应的数字 index+1 满足 1≤index+1≤9。

如果 board[i] [j] 填入了数字 n，则将 rows[i] [n−1]、columns[j] [n−1] 和 subboxes[⌊i/3⌋] [⌊j3⌋] [n−1] 各加 1。如果更新后的计数大于 1，则不符合有效的数独的条件，返回 false。

如果遍历结束之后没有出现计数大于 1 的情况，则符合有效的数独的条件，返回 true。

代码

//Java
class Solution {
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) {
        int[][] rows = new int[9][9];
        int[][] columns = new int[9][9];
        int[][][] subboxes = new int[3][3][9];
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') {
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
}

//C++
class Solution {
public:
    bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        int rows[9][9];
        int columns[9][9];
        int subboxes[3][3][9];
        
        memset(rows,0,sizeof(rows));
        memset(columns,0,sizeof(columns));
        memset(subboxes,0,sizeof(subboxes));
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') {
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)。数独共有 81 个单元格，只需要对每个单元格遍历一次即可。

• 空间复杂度：O(1)。由于数独的大小固定，因此哈希表的空间也是固定的。