插入区间

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插入区间

1.题目内容

给你一个 无重叠的 ，按照区间起始端点排序的区间列表。

在列表中插入一个新的区间，你需要确保列表中的区间仍然有序且不重叠（如果有必要的话，可以合并区间）。

示例 1：

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输入：intervals = [[1,3],[6,9]], newInterval = [2,5]
输出：[[1,5],[6,9]]

示例 2：

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输入：intervals = [[1,2],[3,5],[6,7],[8,10],[12,16]], newInterval = [4,8]
输出：[[1,2],[3,10],[12,16]]
解释：这是因为新的区间 [4,8] 与 [3,5],[6,7],[8,10] 重叠。

示例 3：

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输入：intervals = [], newInterval = [5,7]
输出：[[5,7]]

示例 4：

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输入：intervals = [[1,5]], newInterval = [2,3]
输出：[[1,5]]

示例 5：

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输入：intervals = [[1,5]], newInterval = [2,7]
输出：[[1,7]]

提示：

  • 0 <= intervals.length <= 104
  • intervals[i].length == 2
  • 0 <= intervals[i][0] <= intervals[i][1] <= 105
  • intervals 根据 intervals[i][0] 按 升序 排列
  • newInterval.length == 2
  • 0 <= newInterval[0] <= newInterval[1] <= 105

2.解法

模拟法

思路与算法

在给定的区间集合 X 互不重叠的前提下，当我们需要插入一个新的区间 S=[left,right] 时，我们只需要：

  • 找出所有与区间 SSS 重叠的区间集合 X’；
  • 将 X’中的所有区间连带上区间 SSS 合并成一个大区间；
  • 最终的答案即为不与 X‘ 重叠的区间以及合并后的大区间。

这样做的正确性在于，给定的区间集合中任意两个区间都是没有交集的，因此所有需要合并的区间，就是所有与区间 S 重叠的区间。

并且，在给定的区间集合已经按照左端点排序的前提下，所有与区间 S 重叠的区间在数组 intervals 中下标范围是连续的，因此我们可以对所有的区间进行一次遍历，就可以找到这个连续的下标范围。

当我们遍历到区间 [li,ri]时：

  • 如果ri<left，说明 [li,ri] 与 S 不重叠并且在其左侧，我们可以直接将[li,ri] 加入答案；

  • 如果 li>right，说明[li,ri] 与 S 不重叠并且在其右侧，我们可以直接将 [li,ri] 加入答案；

  • 如果上面两种情况均不满足，说明 [li,ri] 与 S 重叠，我们无需将[li,ri] 加入答案。此时，我们需要将 S 与 [li,ri] 合并，即将 S 更新为其与[li,ri] 的并集。

那么我们应当在什么时候将区间 S 加入答案呢？由于我们需要保证答案也是按照左端点排序的，因此当我们遇到第一个满足 li>right 的区间时，说明以后遍历到的区间不会与 S 重叠，并且它们左端点一定会大于 S 的左端点。此时我们就可以将 S 加入答案。特别地，如果不存在这样的区间，我们需要在遍历结束后，将 S 加入答案。

fig1

代码

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//C++
class Solution {
public:
    vector<vector<int>> insert(vector<vector<int>>& intervals, vector<int>& newInterval) {
        int left = newInterval[0];
        int right = newInterval[1];
        bool placed = false;
        vector<vector<int>> ans;
        for (const auto& interval: intervals) {
            if (interval[0] > right) {
                // 在插入区间的右侧且无交集
                if (!placed) {
                    ans.push_back({left, right});
                    placed = true;                    
                }
                ans.push_back(interval);
            }
            else if (interval[1] < left) {
                // 在插入区间的左侧且无交集
                ans.push_back(interval);
            }
            else {
                // 与插入区间有交集，计算它们的并集
                left = min(left, interval[0]);
                right = max(right, interval[1]);
            }
        }
        if (!placed) {
            ans.push_back({left, right});
        }
        return ans;
    }
};
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//Java
class Solution {
    public int[][] insert(int[][] intervals, int[] newInterval) {
        int left = newInterval[0];
        int right = newInterval[1];
        boolean placed = false;
        List<int[]> ansList = new ArrayList<int[]>();
        for (int[] interval : intervals) {
            if (interval[0] > right) {
                // 在插入区间的右侧且无交集
                if (!placed) {
                    ansList.add(new int[]{left, right});
                    placed = true;                    
                }
                ansList.add(interval);
            } else if (interval[1] < left) {
                // 在插入区间的左侧且无交集
                ansList.add(interval);
            } else {
                // 与插入区间有交集，计算它们的并集
                left = Math.min(left, interval[0]);
                right = Math.max(right, interval[1]);
            }
        }
        if (!placed) {
            ansList.add(new int[]{left, right});
        }
        int[][] ans = new int[ansList.size()][2];
        for (int i = 0; i < ansList.size(); ++i) {
            ans[i] = ansList.get(i);
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 intervals 的长度，即给定的区间个数。

  • 空间复杂度：O(1)。除了存储返回答案的空间以外，我们只需要额外的常数空间即可。