盛最多水的容器

1.题目内容

给定一个长度为 n 的整数数组 height 。有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i]) 。

找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

返回容器可以储存的最大水量。

说明：你不能倾斜容器。

示例 1：

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49 
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示例 2：

输入：height = [1,1]
输出：1

提示：

• n == height.length
• 2 <= n <= 105
• 0 <= height[i] <= 104

2.解法

双指针

设两指针 i , j ，指向的水槽板高度分别为 h[i], h[j] ，此状态下水槽面积为 S(i,j) 。由于可容纳水的高度由两板中的短板决定，因此可得如下面积公式：S(i,j)=min(h[i],h[j])×(j−i)

在每个状态下，无论长板或短板向中间收窄一格，都会导致水槽 底边宽度 −1 变短：

• 若向内 移动短板 ，水槽的短板 min(h[i],h[j]) 可能变大，因此下个水槽的面积 可能增大 。
• 若向内 移动长板 ，水槽的短板 min(h[i],h[j]) 不变或变小，因此下个水槽的面积 一定变小 。

因此，初始化双指针分列水槽左右两端，循环每轮将短板向内移动一格，并更新面积最大值，直到两指针相遇时跳出；即可获得最大面积。

算法流程

1. 初始化： 双指针 iii , jjj 分列水槽左右两端；
2. 循环收窄： 直至双指针相遇时跳出；
   a. 更新面积最大值 resresres ；
   b. 选定两板高度中的短板，向中间收窄一格；
3. 返回值： 返回面积最大值 resresres 即可；

正确性证明

若暴力枚举，水槽两板围成面积 S(i,j) 的状态总数为 C(n,2) 。

假设状态 S(i,j)下 h[i]<h[j] ，在向内移动短板至 S(i+1,j) ，则相当于消去了 S(i,j−1),S(i,j−2),…,S(i,i+1) 状态集合。而所有消去状态的面积一定都小于当前面积（即 <S(i,j)），因为这些状态：

• 短板高度：相比 S(i,j) 相同或更短（即 ≤h[i] ）；
• 底边宽度：相比 S(i,j) 更短；

因此，每轮向内移动短板，所有消去的状态都 不会导致面积最大值丢失 ，证毕。

代码

//C++
class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int i = 0, j = height.size() - 1, res = 0;
        while(i < j) {
            res = height[i] < height[j] ? 
                max(res, (j - i) * height[i++]): 
                max(res, (j - i) * height[j--]); 
        }
        return res;
    }
};

//Java
class Solution {
    public int maxArea(int[] height) {
        int i = 0, j = height.length - 1, res = 0;
        while(i < j) {
            res = height[i] < height[j] ? 
                Math.max(res, (j - i) * height[i++]): 
                Math.max(res, (j - i) * height[j--]); 
        }
        return res;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度 O(N) ： 双指针遍历一次底边宽度 N 。
• 空间复杂度 O(1) ： 变量 i , j , res 使用常数额外空间。