课程表II

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课程表II

1.题目内容

现在你总共有 numCourses 门课需要选，记为 0 到 numCourses - 1。给你一个数组 prerequisites ，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示在选修课程 ai 前 必须 先选修 bi 。

  • 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示：[0,1] 。

返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。可能会有多个正确的顺序，你只要返回 任意一种 就可以了。如果不可能完成所有课程，返回 一个空数组 。

示例 1：

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输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出：[0,1]
解释：总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。

示例 2：

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输入：numCourses = 4, prerequisites = [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出：[0,2,1,3]
解释：总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

示例 3：

1
2
输入：numCourses = 1, prerequisites = []
输出：[0]

提示：

  • 1 <= numCourses <= 2000
  • 0 <= prerequisites.length <= numCourses * (numCourses - 1)
  • prerequisites[i].length == 2
  • 0 <= ai, bi < numCourses
  • ai != bi
  • 所有[ai, bi] 互不相同

2.解法

（1）深度优先搜索

思路及算法

我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来，用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。

假设我们当前搜索到了节点 u，如果它的所有相邻节点都已经搜索完成，那么这些节点都已经在栈中了，此时我们就可以把 u 入栈。可以发现，如果我们从栈顶往栈底的顺序看，由于 u 处于栈顶的位置，那么 u 出现在所有 u 的相邻节点的前面。因此对于 u 这个节点而言，它是满足拓扑排序的要求的。

这样以来，我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候，我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。

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//C++
class Solution {
private:
    // 存储有向图
    vector<vector<int>> edges;
    // 标记每个节点的状态：0=未搜索，1=搜索中，2=已完成
    vector<int> visited;
    // 用数组来模拟栈，下标 0 为栈底，n-1 为栈顶
    vector<int> result;
    // 判断有向图中是否有环
    bool valid = true;

public:
    void dfs(int u) {
        // 将节点标记为「搜索中」
        visited[u] = 1;
        // 搜索其相邻节点
        // 只要发现有环，立刻停止搜索
        for (int v: edges[u]) {
            // 如果「未搜索」那么搜索相邻节点
            if (visited[v] == 0) {
                dfs(v);
                if (!valid) {
                    return;
                }
            }
            // 如果「搜索中」说明找到了环
            else if (visited[v] == 1) {
                valid = false;
                return;
            }
        }
        // 将节点标记为「已完成」
        visited[u] = 2;
        // 将节点入栈
        result.push_back(u);
    }

    vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        edges.resize(numCourses);
        visited.resize(numCourses);
        for (const auto& info: prerequisites) {
            edges[info[1]].push_back(info[0]);
        }
        // 每次挑选一个「未搜索」的节点，开始进行深度优先搜索
        for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {
            if (!visited[i]) {
                dfs(i);
            }
        }
        if (!valid) {
            return {};
        }
        // 如果没有环，那么就有拓扑排序
        // 注意下标 0 为栈底，因此需要将数组反序输出
        reverse(result.begin(), result.end());
        return result;
    }
};
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//Java
class Solution {
    // 存储有向图
    List<List<Integer>> edges;
    // 标记每个节点的状态：0=未搜索，1=搜索中，2=已完成
    int[] visited;
    // 用数组来模拟栈，下标 n-1 为栈底，0 为栈顶
    int[] result;
    // 判断有向图中是否有环
    boolean valid = true;
    // 栈下标
    int index;

    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        edges = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            edges.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        visited = new int[numCourses];
        result = new int[numCourses];
        index = numCourses - 1;
        for (int[] info : prerequisites) {
            edges.get(info[1]).add(info[0]);
        }
        // 每次挑选一个「未搜索」的节点，开始进行深度优先搜索
        for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {
            if (visited[i] == 0) {
                dfs(i);
            }
        }
        if (!valid) {
            return new int[0];
        }
        // 如果没有环，那么就有拓扑排序
        return result;
    }

    public void dfs(int u) {
        // 将节点标记为「搜索中」
        visited[u] = 1;
        // 搜索其相邻节点
        // 只要发现有环，立刻停止搜索
        for (int v: edges.get(u)) {
            // 如果「未搜索」那么搜索相邻节点
            if (visited[v] == 0) {
                dfs(v);
                if (!valid) {
                    return;
                }
            }
            // 如果「搜索中」说明找到了环
            else if (visited[v] == 1) {
                valid = false;
                return;
            }
        }
        // 将节点标记为「已完成」
        visited[u] = 2;
        // 将节点入栈
        result[index--] = u;
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(n+m)，其中 n 为课程数，m 为先修课程的要求数。这其实就是对图进行深度优先搜索的时间复杂度。

  • 空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行深度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为 O(n+m)。在深度优先搜索的过程中，我们需要最多 O(n) 的栈空间（递归）进行深度优先搜索，并且还需要若干个 O(n) 的空间存储节点状态、最终答案等。

（2）广度优先搜索

思路及算法

我们考虑拓扑排序中最前面的节点，该节点一定不会有任何入边，也就是它没有任何的先修课程要求。当我们将一个节点加入答案中后，我们就可以移除它的所有出边，代表着它的相邻节点少了一门先修课程的要求。如果某个相邻节点变成了「没有任何入边的节点」，那么就代表着这门课可以开始学习了。按照这样的流程，我们不断地将没有入边的节点加入答案，直到答案中包含所有的节点（得到了一种拓扑排序）或者不存在没有入边的节点。

上面的想法类似于广度优先搜索，因此我们可以将广度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来。

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//C++
class Solution {
private:
    // 存储有向图
    vector<vector<int>> edges;
    // 存储每个节点的入度
    vector<int> indeg;
    // 存储答案
    vector<int> result;

public:
    vector<int> findOrder(int numCourses, vector<vector<int>>& prerequisites) {
        edges.resize(numCourses);
        indeg.resize(numCourses);
        for (const auto& info: prerequisites) {
            edges[info[1]].push_back(info[0]);
            ++indeg[info[0]];
        }

        queue<int> q;
        // 将所有入度为 0 的节点放入队列中
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                q.push(i);
            }
        }

        while (!q.empty()) {
            // 从队首取出一个节点
            int u = q.front();
            q.pop();
            // 放入答案中
            result.push_back(u);
            for (int v: edges[u]) {
                --indeg[v];
                // 如果相邻节点 v 的入度为 0，就可以选 v 对应的课程了
                if (indeg[v] == 0) {
                    q.push(v);
                }
            }
        }

        if (result.size() != numCourses) {
            return {};
        }
        return result;
    }
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//Java
class Solution {
    // 存储有向图
    List<List<Integer>> edges;
    // 存储每个节点的入度
    int[] indeg;
    // 存储答案
    int[] result;
    // 答案下标
    int index;

    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        edges = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            edges.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        indeg = new int[numCourses];
        result = new int[numCourses];
        index = 0;
        for (int[] info : prerequisites) {
            edges.get(info[1]).add(info[0]);
            ++indeg[info[0]];
        }

        Queue<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
        // 将所有入度为 0 的节点放入队列中
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }

        while (!queue.isEmpty()) {
            // 从队首取出一个节点
            int u = queue.poll();
            // 放入答案中
            result[index++] = u;
            for (int v: edges.get(u)) {
                --indeg[v];
                // 如果相邻节点 v 的入度为 0，就可以选 v 对应的课程了
                if (indeg[v] == 0) {
                    queue.offer(v);
                }
            }
        }

        if (index != numCourses) {
            return new int[0];
        }
        return result;
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度: O(n+m)，其中 n 为课程数，m 为先修课程的要求数。这其实就是对图进行广度优先搜索的时间复杂度。

  • 空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系，为了对图进行广度优先搜索，我们需要存储成邻接表的形式，空间复杂度为 O(n+m)。在广度优先搜索的过程中，我们需要最多 O(n) 的队列空间（迭代）进行广度优先搜索，并且还需要若干个 O(n) 的空间存储节点入度、最终答案等。